Chapter 1
数列
数列は、「数の並びの規則性に着目しよう」という話題として語られる。
数の並びの規則性から、賢く足し算をする知恵も導かれる。
1.1 数列を語る言葉
ある規則によって数を並べた列を数列という。
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . .
無限個の数が並んでいるものは無限数列、有限個の数が並んでいるものは有限数列という。
並んでいる数を項といい、最初の数は初項、有限数列の場合は最後の数を末項という。
先頭から数えて n 番目の数を第 n 項、これは一般項ともよばれる。
具体的な数をそのまま 1 つずつ並べて書いてもよいが、長くなってしまう上、規則性が見えにくい。
一般項だけを {} で囲むことで、一般項で表される数の集合として
{a
n
}
と書くことも多い。
* * *
1
2
CHAPTER 1.
数列
さて、重要な規則性を持つ数列には、名前がつけられている。
まずは簡単なものから見ていこう。
1.2 等差数列
次のような規則で定まる数列は等差数列とよばれる。
初項 a
1
に次々と一定の数 d を足してつくられている数列
等差数列では、隣り合った 2 つの項の差がいつも一定の値 d になり、この d を等差数列の公差と
いう。
1.3 漸化式
初項と、項と項の間の関係を表す式があれば、その式によって初項の次の数、またその次の数、…
というように、数列を復元することができる。
これはいわばドミノ倒しのようなもので、具体的に触れるのは初項だけでよい。あとは規則に従っ
て数が決まっていく。
1.4 「離散的な関数」としての視点
数を「並べる」ということは、位置を表す自然数と、その位置にある数とのマッピング（対応づ
け）としても捉えられる。
すなわち、位置を与えたらその位置にある数を返す関数
f (n) = a
n
という形で数列を捉えることもできる。
このとき、数列という名前の関数 f は、n から a
n
を定める規則のことになる。
自然数 1, 2, 3, . . . のそれぞれに対して、数 a
1
, a
2
, a
3
, . . . が定まっているとき、この
対応づける規則を数列という。
1.4.
「離散的な関数」としての視点 3
[ Todo 1: 図：点で数列をプロットしたグラフ]
f (n) のグラフを書こうとしても、「線」にはならない。
n は自然数（1, 2, 3, . . .）という飛び飛びに並んだ数であるため、各自然数の間の数に対しては f (n)
の値が決まらない。そのため、 f (n) はぽつりぽつりと点を並べて表すしかない。
このように、飛び飛びに並んでいるものは離散的と言われる。
離散的なデータを扱う場面では、データを数列（離散的な関数）として見て調べる視点も重要に
なる。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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todo 1
