Chapter 1
ε − δ論法による無限の記述
ここまでのこの本では、極限というものを厳密に定義していなかった。また、微分と積分におい
て、イメージで導出できることを最重視し、厳密な議論を避けた箇所が多くある。
厳密には、極限は ε − δ 論法によって定義され、微分積分の基礎理論は極限の議論に基づいている。
ε − δ 論法に踏み込んでいない私たちは、極限というものを語る言葉をまだ持ち合わせていない。
1.1 数列の極限
微分を定義するには関数の極限を考えるが、関数の極限の諸性質は、数列の極限から導かれる。
まずは、ε − δ 論法（数列の場合は ε − N 論法とも呼ばれる）によって数列の極限を定義し、その
性質をひとつひとつ確かめていこう。
1.1.1 ε で「一致」をどう表現するか
「限りなく近づく」という表現では、「限りなく」の部分に無限という概念が含まれてしまう。
有限の値 ε を使って、無限を表現しようとするのが ε − δ 論法である。
* * *
ε − δ 論法で極限を定義する前に、有限値 ε を使った議論の例を見てみよう。
1
2
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
有限値 ε の不等式による一致の表現
a、b を実数とするとき、任意の ε > 0 に対して、次のことがいえる。
|a − b| < ε =⇒ a = b
実数は連続である（数直線には穴がない）ため、a と b が異なる実数であれば、a と b の間には無
数の実数が存在する。
つまり、a と b が異なる限り、その間の距離 |a − b| は絶対に 0 にはならない。
R
a bx
|a − b|
R
a bx
|a − b|
R
a bx
|a − b|
|a − b| が 0 にならないということは、ここでも実数の連続性によって、|a − b| より小さい実数が存
在してしまう。
たとえば、a と b の間の中点 x =
|a − b|
2
は、|a − b| よりも小さい。
t
a と b の間の中点というと
a − b
2
だが、正の数 ε と比較するため、絶対値をつけて
|a − b|
2
と
している。
|a − b| より小さい実数が存在してしまうと、「任意の」ε > 0 に対して、|a − b| < ε を成り立たせる
ことができない。
ε はなんでもよいのだから、|a − b| より小さい実数を ε として選ぶこともできてしまう。
しかし、|a − b| より小さい実数を ε としたら、|a − b| < ε は満たされない。
|a − b| が 0 でないという状況下では、あらゆる実数 ε より |a − b| を小さくすることは不可能である。
1.1.
数列の極限 3
したがって、|a − b| < ε を常に成り立たせるなら、|a − b| = 0、すなわち a = b となる。
* * *
ここまでの考察から直観を取り除いて、この定理の数学的な証明をまとめておこう。
Proof: 有限値 ε の不等式による一致の表現
a , b と仮定する。
ε
0
=
|a − b|
2
とおくと、絶対値 |a − b| が正の数であることから、ε
0
も正の数となる。
よって、|a − b| < ε
0
が成り立つので、
両辺 ×2
|a − b| <
|a − b|
2
2|a − b| < |a − b|
2|a − b| − |a − b| < 0
|a − b| < 0
絶対値が負になることはありえないので、a , b の仮定のもとでは矛盾が生じる。
したがって、a = b でなければならない。 ■
なお、|a − b| < ε の右辺を定数倍し、|a − b| < kε などとしても、この定理は成り立つ。
定理「有限値 ε の不等式による一致の表現」は、定数を k として、次のように書き
換えることもできる。
|a − b| < kε =⇒ a = b
この場合、証明で ε
0
=
|a − b|
2k
とおけば、まったく同様の議論が成り立つからだ。
実際に、|a − b| < 2ε とした場合のこの定理を、後に登場する数列の極限の一意性の証明で使うこ
とになる。
1.1.2 ε − N 論法による数列の収束
ε − δ 論法は、数列の極限に適用する場合、ε − N 論法と呼ばれることが多い。
4
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
「数列が {a
n
} が α に収束する」ことの ε − N 論法による表現を、まずはイメージで掴んでみよう。
* * *
まず、α の周りに、両側それぞれ ε だけ広げた区間を考える。
ε は正の数ならなんでもよいとすれば、ε を小さな数に設定し、いくらでも区間を狭めることがで
きる。
そして、「ここから先の項はすべて区間内に収まる」といえる位置に、N という印をつけておく。
a
n
n
ε
ε
α
α − ε
α + ε
N
ε を小さくしていくと、ε による α 周辺の区間に入る項は少なくなる。
それでも、N をずらしていけば、N 以降はこの区間に収まる項だけになる。
これこそが「収束」という現象だと定義するのが、ε − N 論法の考え方である。
1.1.
数列の極限 5
a
n
n
N
区間幅（の半分）となる ε をどんなに小さくしても、「N 番目以降は区間内に収まる項だけになる」
といえるような N を設定できるか？が肝心で、そのような N が存在するなら、数列は収束すると
いえる。
このことを、数学の言葉でまとめておこう。
数列の収束と極限値
数列 {a
n
}
∞
n=1
と実数 α について、次の条件を考える。
任意の正の数 ε に対して
n ≥ N =⇒ |a
n
− α| < ε
が成り立つような自然数 N が存在する
この条件が成り立つとき、数列 {a
n
} は α に 収束 するといい、次のように表す。
lim
n→∞
a
n
= α または a
n
→ α (n → ∞)
このとき、α を数列 {a
n
} の 極限値 という。
ε − δ 論法によるこの定義を用いることで、数列の収束に関する諸性質を証明できるようになる。
6
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
1.1.3 数列の極限の一意性
数列が最終的に複数の極限値に散らばるとしたら、それは収束と呼べるだろうか？
ε − δ 論法による収束の定義は、そのような状況をきちんと除外するようになっている。
数列が複数の値に収束することはない。このことを示すのが、次の定理である。
数列の極限の一意性
数列 {a
n
} が収束するならば、その極限値はただ 1 つに定まる。
Proof: 数列の極限の一意性
数列 {a
n
} が α と β の 2 つの極限値を持つと仮定する。
このとき、任意の正の数 ε に対して、
n ≥ N
1
=⇒ |a
n
− α| < ε
n ≥ N
2
=⇒ |a
n
− β| < ε
が成り立つような自然数 N
1
と N
2
が存在する。
ここで、N = max{N
1
, N
2
} とおくと、n ≥ N のとき、N
1
と N
2
の大きい方が n 以下に収まる
ことから、n ≥ N
1
と n ≥ N
2
がともに成り立つ。
1.1.
数列の極限 7
よって、n ≥ N のとき、|α − β| を考えると、
三角不等式
| − A| = |A|
n
1
≥ N と n
2
≥ N より
|α − β| = |α − β +
0
a
n
− a
n
|
= |(α − a
n
) + (a
n
− β)|
≤ |α − a
n
| + |a
n
− β|
= | − (a
n
− α)| + |a
n
− β|
= |a
n
− α| + |a
n
− β|
< ε + ε
= 2ε
∴ |α − β| < 2ε
したがって、有限値εの不等式による一致の表現より、
α = β
これで、数列 {a
n
} の極限値はただ 1 つに定まることが示された。 ■
1.1.4 定数数列の極限
最も単純な数列の極限値を、ε − N 論法で考えてみよう。
ここでは、同じ数だけを並べた数列（定数数列）の極限を考える。
定数数列の極限を考えておくことで、のちに数列の定数倍の極限へと発展させることができる。
定数数列 任意の n に対して a
n
= c となる数列 {a
n
} を定数数列という。
8
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
a
n
n
c
定数 c を並べた数列では、n を大きくしたときの a
n
の値も変わらず c なのだから、極限値も当然
c となりそうである。
定数数列の極限
任意の n に対して a
n
= c となる定数数列 {a
n
} は収束し、その極限値は c となる。
lim
n→∞
a
n
= c
このような当たり前に聞こえる事実も、ε − N 論法では「当たり前」という直観を排除して議論で
きる。
Proof: 定数数列の極限
ε を任意の正の数とする。
a
n
は n の値によらず c であるから、任意の n に対して次の式が成り立つ。
|a
n
− c| = |c − c| = 0 < ε
∴ |a
n
− c| < ε
したがって、
n ≥ N ⇒ |a
n
− c| < ε
となるような自然数 N は存在する（というか N はなんでもよい）。
よって、{a
n
} は収束し、その極限値は c である。 ■
1.1.
数列の極限 9
1.1.5 数列の極限の線形性
数列の極限についても、線形性が成り立つ。
数列の極限の線形性
数列 {a
n
} と {b
n
} がともに収束するとき、c を実数とすると、数列 {ca
n
+ cb
n
} も収束
する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
(ca
n
+ cb
n
) = c lim
n→∞
a
n
+ c lim
n→∞
b
n
この線形性の式は、数列の和の極限と、数列の定数倍の極限を組み合わせたものになっている。
それぞれ証明することで、この線形性の式が成り立つことを確認しよう。
数列の和の極限
数列の和の極限
数列 {a
n
} と {b
n
} がともに収束するとき、数列 {a
n
+ b
n
} も収束する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
{a
n
} の極限値を α、{b
n
} の極限値を β とすると、最終的に次のような関係を導くことで、この定理
が証明される。
n ≥ N =⇒ |(a
n
+ b
n
) − (α + β)| < ε
|
(
a
n
+
b
n
)
−
(
α
+
β
)
|
は、
a
n
+
b
n
と
α
+
β
がどれだけ近いか、すなわち
a
n
+
b
n
と
α
+
β
の誤差を表し
ている。そして、この誤差を ε より小さくする必要がある。
そのためには、a
n
と α の誤差を
ε
2
より小さくし、b
n
と β の誤差も
ε
2
より小さくできればよい。
10
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
Proof: 数列の和の極限
lim
n→∞
a
n
= α、 lim
n→∞
b
n
= β とおき、ε を任意の正の数とする。
このとき、 lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N
1
が存在する。
n ≥ N
1
=⇒ |a
n
− α| <
ε
2
同様に、 lim
n→∞
b
n
= β より、次のような自然数 N
2
が存在する。
n ≥ N
2
=⇒ |b
n
− β| <
ε
2
ここで、N = max{N
1
, N
2
} とおくと、n ≥ N のとき、n ≥ N
1
と n ≥ N
2
がともに成り立つ。
n ≥ N =⇒ |a
n
− α| <
ε
2
かつ |b
n
− β| <
ε
2
よって、n ≥ N のとき、三角不等式より、
|(a
n
+ b
n
) − (α + β)| = |(a
n
− α) + (b
n
− β)|
≤ |a
n
− α| + |b
n
− β|
<
ε
2
+
ε
2
= ε
∴ |(a
n
+ b
n
) − (α + β)| < ε
という不等式が成り立つことで、 lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = α + β が示された。 ■
数列 {a
n
} が α に収束するということは、ε − N 論法による数列の収束の定義より、
n ≥ N =⇒ |a
n
− α| < ε
という関係が成り立つということである。
ここでの ε は「任意の」正の数であるから、ε の部分にどんな正の数を当てはめても、この関係が
成り立つことになる。
数列の和の極限の証明では、ε の部分に
ε
2
を当てはめた関係を利用している。
1.1.
数列の極限 11
数列の定数倍の極限
数列の定数倍の極限
数列 {a
n
} が収束するとき、c を実数とすると、数列 {ca
n
} も収束する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
(ca
n
) = c lim
n→∞
a
n
{a
n
} の極限値を α とすれば、ca
n
と cα の誤差を ε より小さくする必要がある。
あとから誤差が最大 |c| 倍されても大丈夫なように、a
n
と α の誤差は
ε
|c|
より小さくできればよい。
t
c は正の数とは限らない。誤差は任意の正の数 ε と比較するために正の数として評価したいの
で、絶対値をつけている。
|c| が分母にあるので、c = 0 の場合は除外して考える必要がある。
c = 0 の場合は、定数数列の極限として考えることで、0 に収束することがわかる。
Proof: 数列の定数倍の極限
c = 0 と c , 0 の場合に分けて証明する。
, c = 0 の場合
c = 0 のとき、右辺は、
c lim
n→∞
a
n
= 0 · lim
n→∞
a
n
= 0
また、左辺は、定数数列の極限として考えて、
lim
n→∞
(ca
n
) = lim
n→∞
0 = 0
したがって、c = 0 の場合は、 lim
n→∞
(ca
n
) = c lim
n→∞
a
n
= 0 が成り立つ。
, c , 0 の場合
lim
n→∞
a
n
= α とおき、ε を任意の正の数とする。
12
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
このとき、 lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N が存在する。
n ≥ N =⇒ |a
n
− α| <
ε
|c|
よって、n ≥ N のとき、
|AB| = |A||B|
|a
n
− α| <
ε
|c|
|ca
n
− cα| = |c(a
n
− α)|
= |c||a
n
− α|
< |c| ·
ε
|c|
= ε
∴ |ca
n
− cα| < ε
という不等式が成り立つことで、 lim
n→∞
ca
n
= cα がいえる。
以上より、いずれの場合も、数列 {ca
n
} は cα に収束することが示された。 ■
1.1.6 数列の積の極限
数列の積の極限
数列 {a
n
} と {b
n
} がともに収束するとき、数列 {a
n
b
n
} も収束する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
a
n
b
n
= lim
n→∞
a
n
· lim
n→∞
b
n
{a
n
} の極限値を α、{b
n
} の極限値を β とすると、最終的に次のような関係を導くことで、この定理
が証明される。
n ≥ N =⇒ |a
n
b
n
− αβ| < ε
1.1.
数列の極限 13
a
n
b
n
と αβ の誤差 |a
n
b
n
− αβ| を、三角不等式で見積もっておこう。
|a
n
b
n
− αβ| = |a
n
b
n
− a
n
β + a
n
β − αβ|
= |a
n
(b
n
− β) + β(a
n
− α)|
≤ |a
n
||b
n
− β| + |β||a
n
− α|
ここで、{a
n
} の極限値が α、{b
n
} の極限値が β であることから、任意の正の数を ε
′
として、|a
n
−α| < ε
′
、
|b
n
− β| < ε
′
という関係を使うことができる。
ここまでで得られた不等式において、|a
n
| の部分も |α| に置き換えたいが、このときに a
n
と α の誤
差 ε
′
を考慮する必要がある。
|a
n
| − |α| ≤ |a
n
− α| < ε
′
|a
n
| < |α| + ε
′
これを使うことで、
|a
n
b
n
− αβ| ≤ |a
n
||b
n
− β| + |β||a
n
− α|
< (|α| + ε
′
)|b
n
− β| + |β||a
n
− α|
= (|α| + ε
′
)ε
′
+ |β|ε
′
< |α|ε
′
+ ε
′2
+ |β|ε
′
= (|α| + |β| + ε
′
)ε
′
また、ε
′
は任意の正の数であるが、結局はどんどん小さな数に狭めていくものなので、最初から 1
未満に設定して 0 < ε
′
< 1 としてもよい。
|a
n
b
n
− αβ| < (|α| + |β| + ε
′
)ε
′
< (|α| + |β| + 1)ε
′
以上の考察を、次のような証明として落とし込む。
14
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
Proof: 数列の積の極限
lim
n→∞
a
n
= α、 lim
n→∞
b
n
= β とおき、ε を任意の正の数とする。
極限を考えるので、0 < ε < |α| + |β| + 1 としてもよい。
そこで、
ε
′
=
ε
|α| + |β| + 1
とおくと、0 < ε
′
< 1 である。
このとき、 lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N
1
が存在する。
n ≥ N
1
=⇒ |a
n
− α| < ε
′
同様に、 lim
n→∞
b
n
= β より、次のような自然数 N
2
が存在する。
n ≥ N
2
=⇒ |b
n
− β| < ε
′
ここで、N = max{N
1
, N
2
} とおくと、n ≥ N のとき、n ≥ N
1
と n ≥ N
2
がともに成り立つ。
n ≥ N =⇒ |a
n
− α| < ε
′
かつ |b
n
− β| < ε
′
よって、n ≥ N のとき、三角不等式と 0 < ε
′
< 1 より、
|a
n
b
n
− αβ| ≤ |a
n
||b
n
− β| + |β||a
n
− α|
< (|α| + ε
′
)ε
′
+ |β|ε
′
= (|α| + |β| + ε
′
)ε
′
< (|α| + |β| + 1)ε
′
= ε
∴ |a
n
b
n
− αβ| < ε
という不等式が成り立つことで、 lim
n→∞
(a
n
b
n
) = αβ が示された。 ■
1.1.
数列の極限 15
1.1.7 数列の商の極限
数列の逆数の極限
数列 {a
n
} がともに収束し、 lim
n→∞
a
n
, 0 のとき、数列
(
1
a
n
)
も収束する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
1
a
n
=
1
lim
n→∞
a
n
{a
n
} の極限値を α とすると、最終的に次のような関係を導くことで、上の式は証明される。
n ≥ N =⇒
1
a
n
−
1
α
< ε
ここでも、
1
a
n
と
1
α
の誤差
1
a
n
−
1
α
を、三角不等式で見積もっておく。
1
a
n
−
1
α
=
α − a
n
a
n
α
=
|a
n
− α|
|a
n
α|
ここで、0 < ε
′
<
|α|
2
とすると、
|
a
n
− α
|
< ε
′
<
|α|
2
∴
|
a
n
− α
|
<
|
α
|
2
また、三角不等式より、
|
|a
n
| − |α|
|
≤ |a
n
− α| <
|
α
|
2
−
|α|
2
< |a
n
| − |α| <
|α|
2
|α| −
|α|
2
< |a
n
|
2|α|
2
−
|α|
2
< |a
n
|
∴
|α|
2
< |a
n
|
16
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
が成り立つことを利用して、
1
a
n
−
1
α
<
|a
n
− α|
|a
n
α|
<
|a
n
− α|
|
α
|
2
·
|
α
|
=
2
|
α
|
2
|a
n
− α|
このような不等式から、次のように証明を組み立てる。
Proof: 数列の逆数の極限
lim
n→∞
a
n
= α、 lim
n→∞
b
n
= β とおき、ε を任意の正の数とする。
lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N
1
が存在する。
n ≥ N
1
=⇒ |a
n
− α| <
|α|
2
このとき、n ≥ N
1
ならば、三角不等式より次のような不等式が成り立つ。
|α|
2
< |a
n
|
よって、n ≥ N
1
とすると、a
n
, 0 である。
このとき、次のような不等式も得られる。
1
a
n
−
1
α
<
|a
n
− α|
|a
n
α|
<
2
|α|
2
|a
n
− α|
一方、 lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N
2
も存在する。
n ≥ N
2
=⇒ |a
n
− α| <
ε
2
|α|
2
ここで、N = max{N
1
, N
2
} とおくと、n ≥ N のとき、n ≥ N
1
と n ≥ N
2
がともに成り立つ。
1.1.
数列の極限 17
よって、n ≥ N のとき、
1
a
n
−
1
α
<
2
|α|
2
|a
n
− α|
<
2
|α|
2
·
ε
2
|α|
2
= ε
∴
1
a
n
−
1
α
< ε
という不等式が成り立つことで、 lim
n→∞
1
a
n
=
1
α
が示された。 ■
今示した数列の逆数の極限と、数列の積の極限を組み合わせることで、数列の商の極限も求める
ことができる。
lim
n→∞
b
n
a
n
= lim
n→∞
1
a
n
· lim
n→∞
b
n
数列の商の極限
数列 {a
n
} と {b
n
} がともに収束し、 lim
n→∞
a
n
, 0 のとき、数列
(
b
n
a
n
)
も収束する。
そして、その極限値は次のようになる。
lim
n→∞
b
n
a
n
=
lim
n→∞
b
n
lim
n→∞
a
n
1.1.8 数列の極限の大小関係の保存
[ Todo 1: 定理 2.5]
1.1.9 はさみうちの原理
はさみうちの原理は、
ある数列が 2 つの数列に挟まれていて、その 2 つの数列の極限値が同じなら、挟ま
れた数列の極限値も同じになる。
18
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
という内容の定理である。
この定理により、直接極限を求めにくい数列でも、簡単な数列で挟むことで極限値を求めること
が容易になる。
a
n
n
α
数列の極限に関するはさみうちの定理
数列 {a
n
}、{b
n
}、{c
n
} が、ある自然数 n
0
について、
a
n
≤ c
n
≤ b
n
(n ≥ n
0
)
という関係が成り立つとする。このうち、{a
n
} と {b
n
} が収束し、
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= α
が成り立つならば、{c
n
} も収束し、
lim
n→∞
c
n
= α
が成り立つ。
すべての自然数 n に対して a
n
≤ c
n
≤ b
n
である必要はない。
たとえば、5 以上の n に対して a
n
≤ c
n
≤ b
n
が成り立つ場合（n
0
= 5 の場合）にも、はさみうちの
定理は適用できる。
1.1.
数列の極限 19
Proof: 数列の極限に関するはさみうちの定理
ε を任意の正の数とする。
このとき、 lim
n→∞
a
n
= α より、次のような自然数 N
1
が存在する。
n ≥ N
1
=⇒ |a
n
− α| < ε
同様に、 lim
n→∞
b
n
= β より、次のような自然数 N
2
が存在する。
n ≥ N
2
=⇒ |b
n
− β| < ε
ここで、N = max{N
1
, N
2
, n
0
} とおくと、n ≥ N のとき、n ≥ n
0
、n ≥ N
1
、n ≥ N
2
がすべて成
り立つ。
よって、n ≥ N のとき、
Under construction...
1.1.10 ε − N 論法による数列の発散
数列がどんな実数にも収束しないとき、その数列は発散するという。
正の無限大への発散
数列の項が先に進むにつれて限りなく大きくなる場合に、その数列は正の無限大に発散するという。
「ここから先の項はすべて K より大きくなる」といえる位置に、N という印をつけるようにしよう。
20
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
a
n
n
N
K
どれだけ K を大きくしても、N をずらしていけば、N 以降は K を超える項だけになる。
a
n
n
N
K
このような状況が、正の無限大への発散である。
K をどんなに大きくしても、「N 番目以降の項は K よりも大きくなる」といえるような N を設定
できるか？が肝心で、そのような N が存在するなら、数列は正の無限大に発散すると定義する。
数列の正の無限大への発散
数列 {a
n
}
∞
n=1
について、次の条件を考える。
1.1.
数列の極限 21
任意の正の実数 K に対して
n ≥ N =⇒ a
n
> K
が成り立つような自然数 N が存在する
この条件が成り立つとき、数列 {a
n
} は 正の無限大に発散 するといい、次のように
表す。
lim
n→∞
a
n
= ∞
負の無限大への発散
逆に、数列の項が先に進むにつれて限りなく小さくなる場合には、その数列は負の無限大に発散す
るという。
「ここから先の項はすべて K より小さくなる」といえる位置に、N という印をつけるようにする。
a
n
n
N
K
どれだけ K を小さくしても、N をずらしていけば、N 以降は K より小さい項だけになる。
22
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
a
n
n
N
K
このような状況が、負の無限大への発散である。
数列の負の無限大への発散
数列 {a
n
}
∞
n=1
について、次の条件を考える。
任意の負の実数 K に対して
n ≥ N =⇒ a
n
< K
が成り立つような自然数 N が存在する
この条件が成り立つとき、数列 {a
n
} は 負の無限大に発散 するといい、次のように
表す。
lim
n→∞
a
n
= −∞
1.1.11 追い出しの原理
[ Todo 2: 定理 2.18]
1.1.12 発散数列の和と積
[ Todo 3: 定理 2.18]
1.2.
級数 23
1.1.13 数列の偶数番目と奇数番目の極限による判定
[ Todo 4: 命題 2.13]
1.1.14 数列の極限と絶対値
[ Todo 5: 定理 2.15]
1.1.15 逆数の数列の発散条件
[ Todo 6: 定理 2.16] [ Todo 7: 定理 2.17]
1.1.16 等比数列の極限
[ Todo 8: 命題 3.1]
1.1.17 項の比による収束判定
[ Todo 9: 定理 3.8]
1.1.18 発散数列の増加速度の比較
[ Todo 10: 例題 3.9]
1.2 級数
Under construction...
1.3 関数の極限
1.3.1 ε − δ 論法による関数の極限
ε がどんなに小さい正の数であっても、x と a の誤差を δ 以内に収めることで f (x) と b の誤差が ε
以内に収まるとき、関数 f (x ) は点 a で b に収束するという。
* * *
24
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
まず、y = b の周りに、両側それぞれ ε だけ広げた区間を考える。（この区間を青い帯と呼ぶこと
にする。）
x
y
O
ε
ε
b
x = a の周りには、両側それぞれ δ だけ広げた区間を考える。（この区間をピンクの帯と呼ぶこと
にする。）
このとき、「この x であれば、f (x) が青い帯に収まる」という x を探して、その x をピンクの帯で
包むように δ を設定する。
x
y
O
δ δ
ε
ε
a
b
x
f (x)
ε は正の数ならなんでもよいとすれば、ε を小さな数に設定し、いくらでも青い帯を狭めることが
できる。
しかしこのとき、x をピンクの帯に収まるようにしなければならない。
ピンクの帯の中心は a なので、x をピンクの帯に収めようとすると、x は a に近づいていくことに
なる。
1.3.
関数の極限 25
x
y
O
a
b
x
f (x)
青い帯の幅 ε がどんなに小さくても、ピンクの帯の幅 δ を小さくしていけば、x と f (x) をそれぞ
れ帯の中に収めることができる。
このように、x を a に近い範囲に閉じ込めれば、 f (x) も b に近い範囲に閉じ込められるという状
況を、点 a での関数の収束と定義する。
青い帯の幅 ε がどんなに小さくても、「この x であれば、f (x) が青い帯に収まる」という x がピン
クの帯からはみ出ないように δ を小さくしていけるなら、自動的に x も f (x) もそれぞれ帯の中に
収まる。
つまり、δ に課された制約が肝心で、「この x であれば、 f (x) が青い帯に収まる」という x を包め
るような δ の存在が、収束を保証することになる。
関数の収束と極限値（x → a の場合）
関数 f (x ) と実数 a, b について、次の条件を考える。
任意の正の数 ε に対して
|x − a| < δ =⇒ | f (x) − b| < ε
が成り立つような正の数 δ が存在する
26
CHAPTER 1.
ε − δ 論法による無限の記述
この条件が成り立つとき、関数 f (x) は点 a で b に 収束 するといい、次のように
表す。
lim
x→a
f (x) = b または f (x) → b (x → a)
このとき、b を数列 f (x ) の 極限値 という。
[ Todo 11: 定義 1.1]
1.3.2 関数の極限と数列の極限の関係
[ Todo 12: 定理 1.7]
1.3.3 関数の極限の性質
[ Todo 13: 定理 1.8]
[ Todo 14: 定理 1.9]
1.3.4 はさみうち法
[ Todo 15: 定理 1.10]
1.3.5 合成関数の極限
[ Todo 16: 定理 1.11]
1.3.6 右極限と左極限
[ Todo 17: 定義 1.15]
[ Todo 18: 定義 1.16]
[ Todo 19: 定理 1.19]
1.4.
関数の連続性 27
1.4 関数の連続性
Under construction...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zebra Notes
Type Number
todo 19
