Chapter 1
実数の連続性
ε − δ 論法によって微分積分の理論を再定義しても、その議論は実数の連続性に依存している。
この章では、「実数は連続である」、平たく言えば「数直線には穴がない」という表現を観察する。
1.1 区間の限界を表す
区間の最大値や最小値は、その区間の中で最大もしくは最小となる数を指す。
閉区間の場合は、区間の端点が最大値・最小値となるが、開区間では端点を含まないため、「区間
の中で」最大（もしくは最小）といえる数は存在しないことになる。
しかし、「最大値（最小値）がない＝区間は限りなく続く」というわけではない。
もしそうだとしたら、次の 3 つの開区間が区別できないことになる。
x
a
b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
x
a
(
a
,
+
∞
)
=
{
x
∈
R
|
a
<
x
}
x
a
(−∞, a) = {x ∈ R | a > x}
そこで、最大値・最小値とは別に、区間に限界があることを表す概念を導入する。
1
2
CHAPTER 1.
実数の連続性
1.1.1 上界と下界
区間内の数がとりうる値に「限界が有る」ことを、有界という概念で表す。
上界、上に有界
ある区間に属するどの数も、ある数 M 以下であるとき、この区間は上に有界であるといい、この
M を上界という。
上界 M が区間 X の 上界 であるとは、
任意の x ∈ X に対して x ≤ M が成り立つ
ことをいう。このような上界 M が存在するとき、X は 上に有界 であるという。
x
上に有界な区間 X
X の上界（M はここのどこか）
下界、下に有界
ある区間に属するどの数も、ある数 N 以上であるとき、この区間は下に有界であるといい、この
N を下界という。
下界 N が区間 X の 下界 であるとは、
任意の x ∈ X に対して x ≥ N が成り立つ
ことをいう。このような下界 N が存在するとき、X は 下に有界 であるという。
x
下に有界な区間 X
X の下界（N はここのどこか）
1.2.
数列の極限再訪 3
有界
ある区間が上にも下にも有界であるとき、この区間は有界であるという。
有界 区間 X が 有界 であるとは、
X が上に有界かつ下に有界である
ことをいう。
x
有界な区間 X
X の上界X の下界
1.1.2 上限と下限
1.1.3 上限定理
[ Todo 1: 公理 3.1]
1.2 数列の極限再訪
1.2.1 アルキメデスの公理
[ Todo 2: 命題 3.2]
1.2.2 収束列の有界性
[ Todo 3: 定理 2.11]
1.2.3 単調数列
[ Todo 4: 定義 5.1]
1.2.4 有界な単調数列の収束性
[ Todo 5: 定理 5.4]
4
CHAPTER 1.
実数の連続性
1.3 区間縮小法
[ Todo 6: 定理 5.11]
1.4 収束する部分列
1.4.1 部分列
[ Todo 7: 定義 6.5]
1.4.2 収束する数列の部分列の極限
[ Todo 8: 定理 6.7]
1.4.3 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
[ Todo 9: 定理 6.8]
1.5 コーシー列と実数の完備性
1.5.1 コーシー列
[ Todo 10: 定義 6.9]
1.5.2 実数の完備性
[ Todo 11: 定理 6.11]
1.6 上限定理再訪
[ Todo 12: 定理 6.12]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zebra Notes
Type Number
todo 12
