Chapter 1

絶対値

1.1 数直線上の原点からの距離

実数 a の絶対値は、数直線上の原点 0 から a までの距離として定義される。

3 と −3 を例に考えると、どちらも絶対値は 3 となる。

−3 30

3 3

−3 の絶対値が 3 であるように、負の数の絶対値は元の数から符号を取ったもの（元の数を −1 倍

したもの）となる。

まとめると、

• 正の数の絶対値は元の数そのまま（0 の絶対値もそのまま 0）

• 負の数の絶対値は元の数の −1 倍

というように、絶対値は場合分けして定義される。

 絶対値

CHAPTER 1.

絶対値

実数 a について、a の絶対値を次のように定義する。

|a| =











a (a ≥ 0)

−a (a < 0)

1.2 絶対値の性質

1.2.1 絶対値は 0 以上の数

負の数の場合は、符号を取って正の数にしたものを絶対値とすることから、絶対値が負の数にな

ることはない。

 絶対値は常に非負

実数 a の絶対値 |a| は、常に 0 以上の数となる。

|a| ≥ 0

等号が成立するのは、a = 0 の場合である。

1.2.2 中身の符号によらず絶対値は同じ

3 も −3 も、絶対値はともに 3 だった。つまり、

|3| = | − 3| = 3

このことを一般化したのが、次の性質である。

 中身の符号を変えても絶対値は不変

1.2.

絶対値の性質 3

実数 a の絶対値について、次が成り立つ。

| − a| = |a|

1.2.3 積の絶対値は絶対値の積

絶対値の計算と、積の計算は、どちらを先に行っても結果が同じになる。

 絶対値の積の性質

実数 a と b について、次の式が成り立つ。

|ab| = |a||b|

a と b がともに正の数なら、

• a と b は正の数なので、|a| = a、|b| = b

• ab も正の数なので、|ab| = ab

となり、|ab| = |a||b| が成り立つことがわかる。

では、片方が負の数の場合はどうだろうか。

a か b のどちらかにマイナスの符号をつけてみると、

| − ab| = | − a||b|

| − ab| = |a|| − b|

のどちらかとなるが、前の節で解説した | − X| = |X| の関係から、これらはどちらも |ab| = |a||b| に

帰着する。

a と b の両方が負の数の場合は、

|ab| = | − a|| − b|

となるが、これも | − X| = |X| の関係を使えば、やはり |ab| = |a||b| に帰着する。

CHAPTER 1.

絶対値

1.3 数直線上の 2 点間の距離

Under construction...

1.4 max 関数による表現

実数 a の絶対値は、「a と −a のうち大きい方を選ぶ」という考え方でも表現できる。

たとえば、3 と −3 の絶対値はともに 3 だが、これは 3 と −3 のうち大きい方（正の数の方）を絶

対値として採用した、という見方もできる。

 max 関数による絶対値の表現

実数 a について、a の絶対値を次のように定義することもできる。

|a| = max{a, −a}

ここで登場した max は、「複数の数の中から最大のものを選ぶ」という操作を表している。

1.5 三角不等式

2 つの実数 a と b の「絶対値の和」と「和の絶対値」の間には、次のような大小関係がある。

 絶対値に関する三角不等式

任意の実数 a と b について、次の不等式が成り立つ。

|a + b| ≤ |a| + |b|

この形の不等式は、実は今後登場するベクトルの長さ（ノルム）や、複素数の絶対値に対して

も成り立つ。三角不等式と呼ばれる所以は、ベクトルに関する三角不等式で明らかになる。

1.5.

三角不等式 5

絶対値の定義から、この不等式の証明を考えてみよう。

a の絶対値 |a| は、a から符号を取り払ったものであるから、逆に絶対値 |a| に + か − の符号をつけ

ることで、元の数 a に戻すことができる。

a が負の数だったなら、−|a| とすれば a に戻る。正の数だったなら、|a| がそのまま a に一致する。

−|a| |a|0

|a| |a|

a は原点からの距離が |a| の場所にあり、a は −|a| か |a| のどちらかに一致する。

どちらに一致するかはわからないので、次のような不等式で表しておく。

−|a| ≤ a ≤ |a|

b についても、同じように考えることができる。

−|b| ≤ b ≤ |b|

これらの不等式を使って、さらに式変形を行うことで、三角不等式を導くことができる。

Proof: 絶対値に関する三角不等式

絶対値の定義から、次の不等式が成り立つ。

−|a| ≤ a ≤ |a|

−|b| ≤ b ≤ |b|

両辺を足し合わせて、次の不等式を得る。

−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

−(|a| + |b|) ≤ a + b の両辺を −1 倍することで、次の関係も得られる。（不等式の両辺を −1 倍

すると、不等号の向きが逆転することに注意）

|a| + |b| ≥ −(a + b)

CHAPTER 1.

絶対値

ここまでで得られた、a + b についての不等式をまとめると、次のようになる。

|a| + |b| ≥ a + b

|a| + |b| ≥ −(a + b)

一方、a + b の絶対値は、定義より次のように表せる。

|a + b| = max{a + b, −(a + b)}

a + b と −(a + b) のうち大きい方が |a + b| となるが、a + b と −(a + b) はどちらも |a| + |b| 以

下となることがすでに示されているので、

|a + b| ≤ |a| + |b|

となり、定理は示された。 ■